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Il problema di Monty Hall

Pubblicato da Silvano Cavallina Gio, 01/12/2011 - 12:28

Spesso mi ritrovo a giocare con la matematica e a stupire gli amici con i problemi che hanno una soluzione cosiddetta controintuitiva.

Oggi voglio presentarvi quello che è definitito il problema di Monty Hall. Il problema prende il nome da quello del conduttore di uno show americano Let’s Make a Deal , Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall. Nel gioco vengono presentate al concorrente tre porte chiuse, dietro ad una c’e’ un’auto nuova mentre dietro alle altre due una capra. Il concorrente sceglie una porta e vince il premio corrispondente. Ma ecco cosa accade: il concorrente sceglie una porta, ma ancora non la apre, il presentatore gli apre una delle altre due porte dove egli sa esserci una delle due capre. A questo punto chiede al concorrente se vuole confermare la sua scelta o se preferisce cambiare. Da qui il dilemma del concorrente : cambiare porta migliora le probabilità del giocatore di vincere l’automobile?

Ve lo dico subito, la risposta è si, infatti la probabilità passa da 1/3 iniziale a 2/3. Incredibile? Non siete convinti? Beh , tranquilizzatevi , siete in ottima compagnia. Quando infatti nel 1990 Craig F. Whitaker scrisse alla rubrica di Marilyn vos Savant nel settimanale Parade, la vos Savant (entrata nel Guinness dei primati per essere la donna con il più alto QI al mondo) risolse il problema correttamente ma l’episodio fece un certo scalpore, in quanto diversi accademici non riconobbero la correttezza della soluzione proposta dalla vos Savant finché questa non la spiegò nel dettaglio in un successivo articolo.

Esistono molte dimostrazioni più o meno complesse, ma vediamo, in modo semplice e senza troppi calcoli, alcune di quelle più intuitive per capire perché la risposta data è quella corretta (e perché la maggior parte di voi avrà sbagliato).

Prima soluzione:

Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:

  • Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l’altra capra. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
  • Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l’altra capra. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
  • Il giocatore sceglie l’auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l’altra capra.

Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l’auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia “cambiare” porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.

Seconda soluzione:

Possiamo utilizzare un semplice diagramma di Venn

Dopo aver scelto la porta 1, per esempio, il giocatore ha probabilità 1/3 di aver selezionato la porta con l’auto, il che assegna una probabilità pari a 2/3 alle due porte restanti


Foto Wikipedia

Si supponga che il conduttore apra la porta 3. Dal momento che può solo aprire una porta che nasconde una capra, e non apre una porta a caso, questa informazione non ha effetto sulla probabilità che l’auto sia dietro la porta originariamente selezionata, che resta pari a 1/3. Ma l’auto non è dietro la porta 3, dunque l’intera probabilità di 2/3 delle due porte non selezionate dal giocatore è ora assegnata alla sola porta 2, come mostrato sotto.


Foto Wikipedia

Terza soluzione:

Date un’occhiata al diagramma qui sotto e vedrete immediatamente che la soluzione data è quella corretta.


Foto Wikipedia

Tutto chiaro ? Si ? Bene perché questo problema è una variazione del “Paradosso delle 3 carte” che si pone così:

Giochiamo con tre carte. Una è bianca su entrambi i lati, una è rossa su entrambi i lati e una è bianca da un lato e rossa dall’altro. Voi scegliete una delle tre carte e la posate sul tavolo in modo che sia visibile un solo lato. Supponiamo che il lato che si vede sia bianco. Se vi propongo di scommettere alla pari che è bianco anche l’altro lato della carta (se è bianco vinco io , se è rosso vincete voi) vi conviene accettare la scommessa? Perché?

blog di Silvano Cavallina |

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